Davanti a te ci sono tre pacchi di diversi colori. Uno è rosso, uno è nero e uno è bianco. Hai appena scelto il pacco rosso. In sala non si sente volare una mosca, la tensione si taglia con il coltello. Il conduttore ti mostra il suo miglior sorriso made in china e dice: “ottima scelta amico mio, ma io ti voglio comunque aiutare”. Quindi apre il pacco bianco e fa vedere a tutti che dentro c’è una foto di Pupo. Numerata e autografata. “A questo punto rimangono due pacchi” – prosegue – “ in uno ci sono cinque milioni di euro, nell’altro c’è una felpa rosa di Dolce & Gabbana con la scritta Sal Vini. Ora ti chiedo, per l’ultima volta, vuoi cambiare il pacco che hai scelto?”
Per vincere la cifra contenuta in uno di quei pacchi impiegheresti circa cento anni, nove giorni e tre ore di duro lavoro. Domeniche incluse. Ma tu hai mantenuto il tuo proverbiale sangue freddo: sudi come un lottatore di Sumo nella metropolitana ad agosto e senti la testa pulsare ritmicamente, come se la sera prima fossi stato ad un baccanale di addio al celibato organizzato da una confraternita americana sponsorizzata da una marca di birra. Mentre il conduttore condisce una insulsa insalata di parole per prendere tempo e accrescere la suspense, tu ti stai domandando: devo o non devo cambiare il mio pacco? C’è un modo razionale per prendere una decisione? La risposta che ti dai è che, a questo punto, una scelta vale l’altra. “Il pacco rosso o quello nero, ho comunque il 50% delle possibilità…”.
Ma le cose stanno davvero così?
No. Le cose non stanno così. In questa situazione c’è una scelta scientificamente giusta e una scientificamente sbagliata.
1. Teorema. La scienza insegna che per avere maggiori probabilità di vincere devi necessariamente cambiare il tuo pacco. Ovvero, ci sono maggiori probabilità che il premio si trovi nel pacco che non hai scelto all’inizio del gioco. Per cui, fiondati a cambiare prima che Flavio Insinna ci ripensi e ti costringa ad aprire il pacco sul quale avevi puntato originariamente. Non ne sei convinto? In America, negli anni settanta, c’era un programma televisivo nominato Let’s Make a Deal – facciamo un patto, un accordo, un affare. Il concorrente aveva a disposizione tre porte. Dietro due porte c’era una capra, mentre dietro una porta c’era una macchina. Dopo che il concorrente aveva fatto la sua scelta, il presentatore apriva una delle porte – ovviamente, non quella che era stata scelta – e mostrava al pubblico una capra. Si trattava di un mero espediente per accrescere la suspence, perché non c’era alcuna possibilità di cambiare la scelta fatta in partenza. Fatto sta che un giorno, una giornalista che curava una rubrica pseudoscientifica su di un rotocalco, scrisse che, nel caso in cui avesse potuto scegliere, il concorrente avrebbe fatto meglio a cambiare porta. Questa tesi fece scalpore e l’autrice venne letteralmente sommersa dalle critiche. Si scomodarono persino alcuni tra i più famosi ed apprezzati matematici americani. Eppure, Maryln vos Savant aveva perfettamente ragione. Si tratta di un paradosso probabilistico già formulato nel 1889 sotto il nome paradosso delle tre scatole di Bertrand.
2. Dimostrazione. Il fatto è questo: quando il concorrente sceglie per la prima volta, la domanda a cui deve rispondere è: dove si trova il pacco con cinque milioni di euro? In quel momento, avendo tre pacchi a disposizione, ha il 33% delle possibilità di fare la scelta giusta. Dopo che ha fatto la sua scelta, la domanda che gli viene posta non è: “ora dove si trova il premio?” – perché se la domanda fosse questa egli avrebbe effettivamente il 50% di possibilità di scegliere il pacco giusto – ma vuoi cambiare la tua precedente scelta? Tendiamo a pensare che si tratti di domande equivalenti, ma le cose non stanno affatto così. Quando il concorrente ha fatto la sua prima scelta, aveva solo il 33% di possibilità di scegliere il pacco giusto (1 su 3), mentre aveva il 66% di possibilità di prendere il pacco sbagliato (2 su 3). Per questo motivo, adesso è molto più saggio cambiare pacco.
Non siete ancora convinti? Facciamo così, chiedete aiuto a due amici e organizzate una gara di dieci round. Uno di voi avrai il ruolo del presentatore, un giocatore cambierà sempre il pacco, l’altro terrà sempre la scelta fatta in precedenza. Vedrete che il giocatore che cambia vince molto più spesso del giocatore che tiene il pacco scelto inizialmente.
3. Conclusioni. Vi ho parlato di questo esperimento – universalmente noto con il nome di Enigma di Monty Hall – perché mi sembra un modo molto carino per sottolineare la nostra incapacità di scegliere in maniera razionale. Ci illudiamo di essere in grado di prendere decisioni sensate, ma la verità è che spesso decidiamo sulla base di inganni, presupposti errati, errori di prospettiva.
Per quanto possa essere acuta, la nostra intelligenza non è sempre in grado di darci una mano Mentre è sempre bravissima a inventare giustificazioni per scelte che non abbiamo fatto con la testa, ma con il cuore – nel migliore dei casi. Come aveva capito Bergson: una delle funzioni principali dell’intelletto è la capacità fabulatrice. Ovvero, la capacità di inventare favole che possano giustificare comportamenti, ragionamenti e scelte irrazionali. Per ogni decisione di un certo peso, ci sono sempre moltissimi pro e contro da considerare. Ma noi facciamo fatica a gestire più di sette informazioni alla volta – per questo motivo dividiamo i numeri di telefono e le targhe delle automobili. Per questo stesso motivo, le compagnie telefoniche, le case automobilistiche, i gestori delle televisioni a pagamento e tutti gli altri venditori del mondo ci mettono sempre davanti centinaia di offerte e di opzioni complicatissime. Giocano sulla nostra confusione. Ovviamente, mi riferisco alla maggioranza delle persone. Un filosofo serio e preparato conosce benissimo questi meccanismi e sa esattamente come massimizzare il profitto in ogni occasione. Ora però, devo lasciarvi, non riesco a trovare la mia nuovissima felpa rosa.
Due Minuti di Lucidità 
È sempre bene ricordare le tre porte con capra.
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Credo di averlo fatto, ho citato il programma televisivo, anche senza specificare che si trattava di porte e di capre.
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Ma infatti hai fatto bene.
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Ottima rappresentazione della capacità di autoconvincersi nel caso di perdita al gioco, la scelta giusta sarebbe: non gioco perché il banco vince sempre e chi gioca è un pollo, invece diventa mi ha detto male è uscito il 23, io avevo 24, non ho vinto per uno ma ci sono andato vicino, ho perso ma sono contento perché credo di essere forte al gioco ma sono sfortunato
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Non credo che lei abbia compreso. Ad ogni modo c’è molta letteratura su questo “paradosso”, basta fare una piccola ricerca in biblioteca.
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Può essere che non abbia compreso, io ho inteso la frase “bravissima a inventare PLI per scelte che non abbiamo fatto con la testa, ma con il cuore” come applicabile ad altri contesti, del resto nel gioco non di fa una scelta razionale ma istintuale, altrimenti non si giocherebbe per vincere, poi la considerazione che sia sempre meglio cambiare il pacco con la sua ottima esposizione del “paradosso” l’ho intesa e la condivido
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Non ho capito. Ma mi informo.
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Ottimo.
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Questo è uno dei motivi per cui preferisco i giochi a premi basati su domande di cultura generale: almeno se perdo è perchè ero ignorante in quello specifico argomento XD
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Complimenti Professore, sempre articoli pieni di significato. La domenica ho difficoltà a leggere, vuoi per un motivo, vuoi per un altro, spesso mi trovo il martedì a ritagliarmi quei 10 minuti per la lettura di queste perle. Non esagero… ma la Lezione è sempre dietro ogni articolo e la frase “Ci illudiamo di essere in grado di prendere decisioni sensate, ma la verità è che spesso decidiamo sulla base di inganni, presupposti errati, errori di prospettiva.” è davvero meravigliosa! Aiuta, in momenti di difficoltà, a capire che si può sempre migliorare le proprie capacità di scelta e quindi decidere sempre meglio per il proprio futuro.
Grazie!!! Un abbraccio e buon lavoro.
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Caro Francesco, sei il benvenuto. Ti ringrazio di cuore per le belle parole e per la stima che mi dimostri. Buona giornata e alla prossima!
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Buonasera, ho letto con interesse il suo articolo ma la spiegazione non mi è sembrata esaustiva:
aggiungerei che la probabilità di successo cambia da 1/3 a 2/3 perché il conduttore elimina una delle due scelte indesiderate.
Se il conduttore eliminasse un evento in modo casuale la probabilità sarebbe del 50%
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Buonasera, mi scusi ma a me sembra che la spiegazione sia del tutto esaustiva. Il concorrente farebbe meglio a cambiare il suo pacco proprio perché la probabilità di successo, rebus sic stantibus, è di 1/3 e non di 1/2 – come saremmo erroneamente portati a pensare. Ovviamente, il conduttore elimina un pacco “non vincente”. Se così non fosse, tutto questo discorso non avrebbe davvero alcun senso. Si tratta di un presupposto fondamentale del gioco. Peraltro, l’ho scritto in maniera esplicita.
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Si, probabilmente sono io a soffrire di analfabetismo funzionale! Buona giornata
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Ci mancherebbe Franco, si tratta di un ragionamento del tutto “contro-intuitivo”. Anche io ho dovuto riflettere per accertarne la validità.
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Uhmm… Il gioco si basa sulla differenza tra possibilità e probabilità.
Possibilità presenta due valori (é possibile/non possibile), probabilità é la quantificazione dell’incertezza (tutta la gradazione tra possibile e non possibile).
Se il giocatore decidesse di cambiare avrebbe sempre una possibilità su due di trovare quello che desidera e due probabilità su tre di aver fatto la scelta piú appropriata. Se decidesse di non cambiare avrebbe sempre una possibilità su due di vincere ció che desidera e una probabilità su tre di aver fatto la scelta piú appropriata.
Quello che c’é nella busta é assolutamente indipendente dalle valutazioni che il giocatore farà.
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In questo gioco la possibilità di vincere dipende dalla probabilità di aver fatto (e di fare) una scelta giusta. Quest’ultima, inizialmente, ammonta a uno su tre. Di conseguenza ci sono molte probabilità di aver fatto una scelta sbagliata e, arrivati alla fine, conviene sempre cambiare pacco. Se non ti fidi di me – se non sono riuscito a spiegarmi – ti consiglio di fare una piccola ricerca in biblioteca, troverai molta letteratura sul tema. Grazie per il commento e alla prossima.
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Uhmm… Rispetto molto quello che scrivi ed è una discussione costruttiva. Ci son due aspetti che non mi sono chiari.
Il primo riguarda la confusione che vedo tra il concetto di possibilità e di probabilità. Parlare di “x% di possibilità” non è scorretto? Non dovrebbe essere “x% di probabilità”? Non è solo semantica. La possibilità qui è binaria (zero oppure uno) la probabilità è una distribuzione continua (tutti i valori tra zero e uno).
Il secondo punto è quello che anche la più razionale delle decisioni non rimuove completamente l’incertezza (la possibilità che un accadimento avvenga o meno) e non è garanzia di successo. Quindi anche decisioni irrazionali si possono dimostrare a posteriori vantaggiose.
Affermi che “la possibilità di vincere dipende dalla probabilità di aver fatto la scelta giusta”. Ne siamo proprio sicuri? Non credo sia corretto. La possibilità di vincere dipende da cosa accadrà e ciò che accadrà è indipendente dalla mia valutazione di probabilità. Come si dice “Il banco non ha memoria”.
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Siamo d’accordo sul fatto che si tratti di concetti diversi. Ma concetti diversi possono essere correlati. Come in questo caso. Vedi, la discussione non è filosofica, è statistica. Molti colleghi che insegnano statistica iniziano il corso con questo esempio. Si tratta di un teorema che è stato dimostrato in milioni di modi. “Il banco non ha memoria” è tutt’altro discorso. Il soggetto ha scelto quando aveva poche probabilità di vincere (è matematico, oggettivo, scientifico). Quindi ci sono molte probabilità che ora abbia in mano una “carta perdente” (è altrettanto matematico, oggettivo, scientifico).
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